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Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

• Der Bahnensatz

• Formulierung

• Beweis

• Bahnformel

• Beispiele

• Konjugation

• Transitive Operation

• Siehe auch

• Literatur

• Weblinks

Sei ( G , ⋅ ⋅ ) {\displaystyle \ (G,\cdot )} eine Gruppe und ∘ ∘ : G × × M → → M {\displaystyle \circ :G\times M\rightarrow M} eine Operation von G {\displaystyle G} auf einer Menge M {\displaystyle M} . Dann ist für jedes x ∈ ∈ M {\displaystyle x\in M} die Abbildung

G / G x → → G ∘ ∘ x , g ⋅ ⋅ G x ↦ ↦ g ∘ ∘ x {\displaystyle G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x}

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

• G ∘ ∘ x := { g ∘ ∘ x | g ∈ ∈ G } ⊆ ⊆ M {\displaystyle G\circ x:=\{g\circ x\ |\ g\in G\}\subseteq M} die Bahn von x {\displaystyle x} ,

• G x := { g ∈ ∈ G | g ∘ ∘ x = x } ≤ ≤ G {\displaystyle G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G} den Stabilisator von x {\displaystyle x} und

• G / G x := { g ⋅ ⋅ G x | g ∈ ∈ G } ⊆ ⊆ P ( G ) {\displaystyle G/G_{x}:=\{g\cdot G_{x}\ |\ g\in G\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)} die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe G x {\displaystyle G_{x}} in G {\displaystyle G} .

Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Im Fall | G ∘ ∘ x | < ∞ ∞ {\displaystyle |G\circ x|<\infty } ist ( G : G x ) = | G ∘ ∘ x | {\displaystyle (G:G_{x})=|G\circ x|} . Dabei bezeichnet ( G : G x ) := | G / G x | {\displaystyle \ (G:G_{x}):=|G/G_{x}|} den Index von G x {\displaystyle G_{x}} in G {\displaystyle G} . Für endliche Gruppen G {\displaystyle G} gilt daher die Bahnformel

| G | = | G ∘ ∘ x | ⋅ ⋅ | G x | {\displaystyle \ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|} .

Jede Gruppe G {\displaystyle G} operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation g ∘ ∘ x := g x g − − 1 {\displaystyle g\circ x:=gxg^{-1}} . Die Bahn G ∘ ∘ x := { g x g − − 1 | g ∈ ∈ G } {\displaystyle G\circ x:=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}} eines Elements x ∈ ∈ G {\displaystyle x\in G} bezeichnet man als Konjugationsklasse von x {\displaystyle x} . Der Stabilisator G x := { g ∈ ∈ G | g x g − − 1 = x } = { g ∈ ∈ G | g x = x g } {\displaystyle G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\}} heißt Zentralisator von x {\displaystyle x} und wird mit Z G ( x ) {\displaystyle Z_{G}(x)} bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen G {\displaystyle G}

| G | = | G ∘ ∘ x | ⋅ ⋅ | Z G ( x ) | {\displaystyle |G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|} .

Ist die Operation einer endlichen Gruppe G {\displaystyle G} auf M {\displaystyle M} transitiv, so ist

| M | = | G ∘ ∘ x | = ( G : G x ) {\displaystyle |M|=|G\circ x|=(G:G_{x})} .

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von M {\displaystyle M} ein Teiler der Gruppenordnung sein.

• Gruppenoperation

• Satz von Lagrange

• Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“

• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67

• Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124

• Eric W. Weisstein: Bahn (Orbit) und Bahnformel. In: MathWorld (englisch). (englisch)